斜拉橋穩定性整體分析
2018-05-07
結構失穩是指在外力作用下結構的平衡狀態開始喪失穩定性，稍有擾動，也會引起很大的位移和變形，甚至發生破壞。此時雖然截面的內力并未超過它的最大抵抗能力，但結構的平衡狀態發生了分支，或者是隨著變形的發展內外力的平衡己不可能得到，于是結構在外荷載基本不變的情況下可能發生很大的位移最后導致結構的破壞。
一、穩定理論的發展概況
與橋梁結構相關的穩定理論已有悠久的歷史，同時橋梁失穩事故的發生促進了橋梁穩定理論的發展。早在1744年歐拉（L.Euler）就進行了彈性壓桿屈曲的理論計算。在國內對于斜拉橋的穩定性問題，李國豪等提出了采用空間桿系屈曲有限元方法進行計算的思路，并給出了計算斜拉橋平面屈曲臨界荷載的近似方法。
根據結構經受任意微小外界干擾后，能否恢復初始平衡狀態，可把平衡狀態分為穩定、不穩定和隨遇三種。研究結構穩定的主要目的就在于防止不穩定平衡狀態的發生。由失穩前后平衡和變形性質，可以把穩定問題分為兩大類：第一類穩定，即分支點失穩問題。見圖1；第二類穩定，即極值點失穩問題，見圖2。
圖1 分支點失穩
圖2極值點失穩
二、斜拉橋的第一類穩定問題
在斜拉橋建設的初期，跨徑一般較小，再加上計算手段的不成熟，通常只考慮第一類穩定問題，而且常把塔和梁分離開來單獨考慮其穩定性。對斜拉橋穩定性較精確的分析方法是有限元法，這種方法可求得斜拉橋整體的屈曲安全度。
在有限元分析中，斜拉橋被離散為許多單元。如果知道各個單元的力和位移的關系，則不難推出整體結構的力和位移的關系。值得注意的是，在壓桿剛度矩陣中，需要考慮軸向力對剛度的影響。對于第一類穩定問題而言，結構失穩時是處于小變形范圍，大位移矩陣[KL]較小，通常忽略不計。
空間梁單元在小變形下的單元剛度矩陣： （1）
—單元的剛度矩陣；
—單元的彈性剛度矩陣；
—單元幾何剛度矩陣。還與初始軸力N有關，所以也稱為初始應力剛度矩陣。幾何剛度矩陣使單元剛度發生了變化，主要是由于軸力在桿彎曲時所產生的效應所致。當軸力是拉力時，桿的剛度變大，即強化(增加)了單元剛度矩陣；當軸力是壓力時，桿的剛度變小，即軟化(減小)了單元剛度矩陣。
然后，將各個單元的剛度矩陣，集合成整個結構的整體剛度矩陣，將作用于各單元的等效結點力列陣，集合成總的載荷列陣。于是得到以整體剛度矩陣[K]、載荷列陣{F}以及整個結構的結點位移列陣{δ}表示的整個結構的平衡方程
[K]{δ}={F}(2)
即 (3)
一般來講，式(3)的系數矩陣是非奇異的，它只有零解{δ}=0。表示原來的非撓曲的平衡是穩定平衡。設外力按比例增加λ倍，單元軸力成為λP，由于
[Kσ]與荷載大小有關，整體的幾何剛度矩陣變為λ[Kσ]。整體平衡方程則成為：
(4)
如果λ足夠大，使得結構達到隨遇平衡狀態，即當{δ}變為({δ}+{Δδ})時，平衡方程式(4)也能滿足，即有：
(5)
同時滿足式(4)和式(5)的條件是
(6)
由此可見，結構的穩定性分析最終歸結為廣義特征值問題。{Δδ}=0是式(6)的一組解，表示結構未發生失穩變形的情況，這組解并不是我們需要的。為了使式(6)取得非零解，則要求：
(7)
這就是計算穩定安全系數的特征方程，若為n階，在理論上可得到n個特征值，相應地可由式(6)求出n個特征向量，它們分別表示各階穩定安全系數的大小及相應的屈曲模式。對于穩定問題，有實際意義的只是最小正特征值所對應的臨界荷載端λminP。如果特征方程式(7)沒有正特征值，說明在這種荷載下結構沒有失穩問題，例如桿在軸向拉力下就不會發生失穩問題。
λ稱為特征值，也叫比例因子或載荷因子，作用荷載P乘以它就等于臨界屈曲荷載Pcr。作用荷載可以是任意的，如果給定荷載P是單位荷載，特征值即是屈曲荷載，如果給定荷載P是實際荷載，特征值即為該結構的屈曲安全系數，總之，它們的乘積Pcr保持不變。
三、斜拉橋的第二類穩定問題
第二類穩定問題可以理解為求結構極限荷載的問題。從設計的角度講，現行的承載能力極限狀態設計法是從“極限設計”的思想中引出的概念。傳統的“強度設計”以構件最大工作應力乘以安全系數等于材料的屈服應力為依據。但是，在一般的情況下，構件某截面開始屈服并不能代表結構完全破壞，結構所能承受的荷載通常較構件開始屈服時的荷載要大。為了利用這一結構強度儲備量，“極限設計”提出了極限荷載的概念。即引起結構完全崩潰的荷載，并將結構的工作荷載取為極限荷載的一個固定的部分。顯然這種考慮方式更為合理。
斜拉橋穩定性分析中，對于第一類穩定問題的分析一般采用彈性有限元方法，通過特征值求解得出一階特征值作為穩定安全系數，其計算原則為：
(1)假設失穩前結構處于小變形狀態，不考慮斜拉橋的各種非線性特征；
(2)計入施工過程中位移和應力的疊加效應。
對于第二類穩定問題的分析一般采用荷載增量求解的非線性有限元方法，通過非線性方程的求解得出結構的極限承載力，從而得出結構的穩定安全系數，其計算原則為：
(1)考慮梁—柱效應、大位移效應及斜拉索垂度效應；
(2)計入施工過程中位移和應力的疊加效應；
(3)考慮主梁和混凝土橋塔的材料非線性；
(4)考慮單根構件極限承載能力的影響；
(5)考慮施工過程中臨時支架支點的單向受力(僅受壓)特性。
考慮單根構件極限承載能力的影響及支架支點的單向受力特性屬于邊界非線性問題。因而第二類穩定問題包含了幾何非線性、材料非線性及邊界非線性，屬于多重非線性問題。
綜合第一類穩定和第二類穩定的計算原則，研究穩定問題時，可對下列情形進行計算分析：
(1)第一類穩定性分析；
(2)僅考慮幾何非線性的穩定性分析；
(3)同時考慮幾何非線性和支架支點單向受力特性的穩定性分析；
(4)同時考慮幾何非線性和材料非線性的穩定性分析；
(5)根據第二類穩定性計算原則，進行極限承載能力分析。
上述計算情形的依次計算分析，既可以得出斜拉橋各種非線性因素對穩定性安全系數的影響及一般規律，又是編制、調試斜拉橋穩定計算程序和檢查模型正確性的必要步驟。
四、斜拉橋穩定性判別標準及評價方法
?。ㄒ唬┙Y構穩定性的判別準則
判斷結構的穩定性一般可采用能量準則、靜力準則及動力準則。前面介紹的方法均屬于靜力準則。以下介紹能量準則對結構穩定性進行判斷。
由能量原理可知，如果結構處于平衡狀態，則它的總勢能泛函∏的變分為零，即：
δΠ=0 (8)
如果Π*表示平衡狀態發生微小改變的總勢能泛函，則將Π*按Tayler級數展開可得：
Π*=Π+δΠ+1/2δ2Π (9)
因為在平衡狀態由式(14)，得總勢能泛函的增量為：
ΔΠ*=Π*-Π=1/2δ2Π (10)
如果只取二階微小量，則由此可得判斷結構穩定性的能量準則：
如果δ2Π>0，則Π為極小值，結構處于穩定平衡狀態；
如果δ2Π<0，則Π為極大值，結構處于不穩定平衡狀態；
如果δ2Π=0，則Π為駐值，結構處于臨界平衡狀態。
利用變分原理可得：
δ2Π=Δ{δ}T[K]Δ{δ}(11)
因此判斷穩定性的能量準則可變為
如果Δ{δ}T[K]Δ{δ}>0，則穩定平衡；
如果Δ{δ}T[K]Δ{δ}<0，則穩定不平衡；
如果Δ{δ}T[K]Δ{δ}=0，則臨界平衡。
式中[K]為剛度矩陣，如果[K]正定，則平衡是穩定的；如果[K]負定，則平衡是不穩定的；如果[K]奇異，即det[K]=0，則平衡處于臨界狀態，它對應的荷載就是臨界荷載。
?。ǘ┙Y構穩定性的評價指標
對于穩定性評價指標，最直觀的即為穩定安全系數。對斜拉橋的整體穩定性能，規范并沒有明確規定斜拉橋的整體穩定安全系數。一般來說，結構的穩定安全系數是相對于某種特定荷載而言的。在非線性穩定分析方面，對加載方式目前還沒有統一的根據，它的選擇大多取決于設計者的意圖，目前對于穩定安全系數的計算主要有兩種方法。
1、第一種方法
對于斜拉橋施工過程中各狀態以及成橋狀態的整體非線性失穩安全系數，現定義為結構在喪失承載能力前所能承受的荷載量與設計荷載量的比值。即：
{Pcr}=λ{Psj} （12)
式中：λ—穩定承載能力安全系數；
{Pcr}—某工況下結構在失穩時的總荷載(包括恒載、活載)：
{Psj}—某工況下結構的設計荷載(包括恒載、活載)。
結構穩定安全系數λ為：
λ={Pcr}/{Psj}（13)
2、第二種方法
結構失穩時的總荷載可表示為：
{Pcr}={Pd}+λ1{P1}（14)
式中：{Pcr}為結構總的失穩荷載；
{Pd}為此階段開始施工前的恒載；
{P1}為施工階段新增恒載或成橋階段的活載；
λ1為結構失穩時相對于{P1}的加載倍數。
結構穩定安全系數λ為：
(15)
這兩類穩定安全系數的定義都能反映出斜拉橋的穩定安全儲備。第一種定義反映了結構對所有荷載的安全儲備能力：第二種定義將結構現有恒載看作不變量，僅考慮結構新增恒載或活載的安全儲備能力。
雖然工程結構的失穩大多屬于第二類穩定問題，但作為第二類穩定問題的上限，第一類穩定問題的特征值求解還是具有一定的應用價值，在一個粗略的范圍內它能夠評價結構的穩定性。斜拉橋第一類穩定性的安全評價標準一般參照斜拉橋試用規范，要求第一類穩定安全系數大于4。
根據國內已建橋梁的設計經驗，在結構的空間分析模型中，考慮幾何非線性及單根構件極限承載力的影響后，只要穩定安全系數在2.0以上，結構穩定性可以得到保證。因此，斜拉橋第二類穩定性的安全評價標準為其穩定安全系數應大于2.0。
五、結論
?。?）介紹了穩定理論及其發展概況；
?。?）詳細地論述了兩類穩定問題；
?。?）簡要敘述了穩定問題失穩判別準則，探討了斜拉橋穩定性的兩種評價指標。
【參考文獻】
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[6]交通部重慶公路科學科研所主編.公路斜拉橋設計規范(試行).北京:人民交通出版社,1996.
【作者簡介】
黃澤權（1978-），男，福建福州人，重慶市軌道交通設計研究院有限責任公司設計人員，碩士研究生。
